نموذج دفتر النصوص لأستاذ الرياضيات

Contenus de programme    محتوى البرنامج

- Ecriture et notations ;
- Exemples de nombres irrationnels ;
- Opérations dans IR , propriétés ;
- Les puissances et leurs propriétés ; puissance de 10 ;écriture scientifiqued’un nombre décimal ;
- Les identités remarquables : (a+b)² ; (a-b)²; a²-b²; a³+b³;a³-b³;(a + b)³ (a - b)³

- Développement et factorisation.

Les capacités attendues    القدرات المنتظرة

- Reconnaitre les relations entre les  nombres et distinguer les différents ensembles de nombres ;
- Déterminerl’écriture convenabled’uneexpression algébrique selon la situation  étudiée.

Recommandations péqagoqiques    توجيهات تربوية

- On fera la synthèse des connaissances acquises par les élèves à propos des nombres puis on introduira les
symboles relatifs aux ensembles de nombres et on fera la distinction entre ces ensembles ;
- Onintroduira,àpartird’activitésetd’exercices,laracine carréed’un entier naturel qui n’est pas un carré parfait comme exemple de nombre irrationnel ;
- Onrappellera,àpartird’activités,lespropriétésdes opérations dans l’ensemble IR et les différentes identités remarquables qui doivent être renforcées par les deux
identités a³+b³;a³-b³;
- On devra renforcer et soutenir les propriétés et les techniques relatives aux opérations dans IR chaque fois quel’occasion se présente dans les différents chapitres du programme.

    Série d'exercices:  le lien

 

الأعداد الصحيحة (Nombres entiers)

الأعداد الصحيحة النسبية (Nombres entiers relatifs) هي الأعداد التي  تشمل الأعداد الصحيحة الموجبة، السالبة، والصفر.

- تتضمن الأعداد الصحيحة النسبية: ....;3;2;1;0;1-;2-;3-;....

الرمز $\mathbb{Z}$:

 الرمز $\mathbb{Z}$ هو الرمز المستخدم لتمثيل مجموعة الأعداد الصحيحة. 

تم اشتقاق هذا الرمز من الكلمة الألمانية "Zahlen" التي تعني "أعداد".

خصائص الأعداد الصحيحة النسبية (أو الأعداد الصحيحة):

1-  الجمع والضرب:

 إذا كان لدينا عددين صحيحين نسبياً $a$ و $b$، فإن $a + b$ و $a \times b$ سيكونان أيضاً عددين صحيحين نسبياً.

2- وجود العنصر المحايد في الجمع والضرب:

- العنصر المحايد في الجمع هو $0$ (لأن $a + 0 = a$ لأي عدد صحيح $a$).

- العنصر المحايد في الضرب هو $1$ (لأن $a \times 1 = a$).

 3- المقابل:

 لكل عدد صحيح $a$، يوجد عدد صحيح $-a$ بحيث $a$$a + (-a) = 0$.

 مثال: 

 إذا كان لدينا الأعداد $3$ و $-5$، فهما عددين صحيحين نسبيين نقول أنهما  ينتميان إلى مجموعة  $\mathbb{Z}$$\mathbb{}$$\mathbb{Z}$ , ونكتب 

-5 ∈ Z  و  3 ∈ Z

$$الأعداد الجذرية (Nombres Rationnels)

 الأعداد الجذرية هي الأعداد التي يمكن تمثيلها على شكل كسر مكون من عددين صحيحين، حيث يكون العدد الأول (البسط) عددًا صحيحًا والعدد الثاني (المقام) عددًا صحيحًا غير صفر. يرمز لها عادةً بالحرف $\mathbb{Q}$، وهو اختصار للكلمة اللاتينية "Quotient" التي تعني "قسمة"، وذلك لأن الأعداد الجذرية تمثل نتيجة قسمة عددين صحيحين.

تعريف الأعداد الجذرية

 العدد الجذري هو أي عدد يمكن كتابته على الشكل  التالي:$$$$$\frac{}{}$$\frac{a}{b}$

$$$$$\frac{\mathrm{a- }}{}$ هو عدد صحيح (أي ينتمي إلى  Z )

b $-$ هو عدد صحيح غير صفر (أي ينتمي إلى $\mathbb{Z}$ و $b \neq 0$).

 خصائص الأعداد الجذرية

 مجموعات الأعداد الجذرية: مجموعة الأعداد الجذرية $\mathbb{Q}$ تحتوي على الأعداد الصحيحة ($\mathbb{Z}$) لأنها يمكن كتابتها على شكل كسر مع مقام 1. كما أن الأعداد العشرية المنتهية والدورية هي أيضًا أعداد جذرية.- الجمع والطرح والضرب: إذا كان لدينا عددين جذريين $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$، فإن الجمع والطرح والضرب بينهما ينتج عنه أعداد جذرية أيضًا. على سبيل المثال:
- جمع: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$ 

 - طرح: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$$ 

- ضرب: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

$-$$$ القسمة: إذا كان لدينا عددين جذريين $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$، حيث $c \neq 0$ و $d \neq 0$، فإن قسمة الأول على الثاني تعطي عددًا جذريًا أيضًا:

 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$

$$$$$$$$التمثيل العشري: الأعداد الجذرية يمكن تمثيلها إما كأعداد عشرية منتهية أو أعداد عشرية دورية. على سبيل المثال: 

$\frac{1}{2}$=0.5 (عدد عشري منتهي)$\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$ (عدد عشري دوري)

 مثال على الأعداد الجذرية

 - العدد $\frac{3}{4}$ هو عدد جذري حيث البسط 3 والمقام 4.

- العدد $-5$ هو أيضًا عدد جذري لأنه يمكن كتابته كـ $\frac{-5}{1}$.

- العدد $0.25$ هو عدد جذري لأنه يمكن كتابته كـ $\frac{1}{4}$.

الفرق بين الأعداد الجذرية وغير الجذرية

العدد الجذري يختلف عن العدد غير الجذري (أو العدد اللاجذري). الأعداد اللاجذرية هي الأعداد التي لا يمكن تمثيلها على شكل كسر من أعداد صحيحة. مثل الجذور التربيعية للأعداد التي لا تكون مربعات كاملة، مثل $\sqrt{2}$ و $\pi$.

خاتمة

الأعداد الجذرية تعد أساسًا في الرياضيات حيث تستخدم في العديد من العمليات الحسابية والتمثيلات الرياضية. إن فهم الأعداد الجذرية يمكننا من التعرف على خواص الأعداد بشكل عام ويمكننا من بناء العديد من المفاهيم الرياضية الأخرى مثل الأعداد غير الجذرية.